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  • Noyau - Espace nul (algèbre linéaire)

    Formulaire de report

    Définition

    Définition :
    Soit \(f\) une application linéaire de \(E\) dans \(F\)
    L'ensemble \(\{u\in E:f(u)=0_F\}\), noté \(\ker f\), est appelé noyau de \(f\)

    (Application linéaire associée à une matrice)

    Propriétés

    Vecteur nul

    Remarque :
    On a \({{0_E}}\in{{\ker f}}\) pour \(f\in\mathcal L(E,F)\)

    (Vecteur nul)

    Sous-espace vectoriel

    Proposition :
    \(\ker f\) constitue un sous-espace vectoriel de \(E\)

    (Sous-espace vectoriel - Sous-famille)

    Démonstration :


    Injection

    Proposition :
    \(f\) est injective si et seulement si \({{\ker f}}={{\{0_E\} }}\)

    (Injection)

    Démonstration :




    Méthodes pour déterminer le noyau

    Matrice augmentée - Algorithme du compagnon

    Exercices

    Consigne: Soit \(u\) un endomorphisme de \(E\), et \({\mathcal B}\) une base de \(E\)
    Discuter de la dimension du noyau de \(u\) $$M_{\mathcal B}(u)=\begin{pmatrix}2&1&a&1\\ -1&1&1&b\\ 0&0&a&1\\ 0&0&1&b\end{pmatrix}$$

    \(M\) est triangulaire par blocs : $$M_{\mathcal B}(u)=\left(\begin{array}{cc|cc}2&1&a&1\\ -1&1&1&b\\ \hline0&0&a&1\\ 0&0&1&b\end{array}\right)$$

    Calcul du détrminant
    Donc $$\operatorname{det} M=\begin{vmatrix}2&1\\ -1&1\end{vmatrix}\times\begin{vmatrix} a&1\\ 1&b\end{vmatrix}=3(ab-1)$$

    Disjonction des cas pour calculer le rang
    - Si \(ab\neq1\), alors \(\operatorname{Rg}(M)=4\)
    - Si \(ab=1\), alors \(\operatorname{Rg}(M)\leqslant3\). Comme les trois premières colonnes sont idépendantes, on a aussi \(\operatorname{Rg}(M)\geqslant3\). On a donc \(\operatorname{Rg}(M)=3\)

    Théorème du rang \(\to\) synthèse

    D'après le théorème du rang, on a $$\operatorname{dim}\ker M=4-\operatorname{Rg} M$$
    Synthèse :
    - Si \(ab\neq1\) alors \(\operatorname{dim}\ker M=0\)
    - Si \(ab=1\), alors \(\operatorname{dim}\ker M=1\)

    (Théorème du rang)

    Consigne: Soit \(u\) un endomorphisme de \(E\), et \({\mathcal B}\) une base de \(E\)
    Discuter de la dimension du noyau de \(u\) $$M_{\mathcal B}(u)=\begin{pmatrix}-1-\lambda&2&1\\ 4&1-\lambda&-2\\ 0&0&3-\lambda\end{pmatrix}$$
    (sans utiliser les valeurs propres)

    Calculer la dimension du noyau revient à calculer le rang
    Théorème du rang : on a : $$\operatorname{dim}\ker M=3-\operatorname{Rg} M$$
    Calculons de le rang de \(M\)

    Calcul du déterminant
    $$\begin{align}\operatorname{det} M&=(3-\lambda)\begin{vmatrix}-1-\lambda&2\\ 4&1-\lambda\end{vmatrix}\\ &=(3-\lambda)(\lambda^2-1-8)\\ &=-(\lambda-3)^2(\lambda+3)\end{align}$$

    Calcul du rang en fonction des valeurs de \(\lambda\) et conclusion

    - Si \(\lambda\notin\{-3,3\}\), \(M\) est inversible donc \(\operatorname{Rg} M=3\) et \(\operatorname{dim}\ker M=0\)
    - Si \(\lambda=3\), alors \(M_=\begin{pmatrix}-4&2&1\\ 4&-2&-2\\ 0&0&0\end{pmatrix}\). Les colonnes \(1\) et \(2\) sont proportionnelles et les colonnes \(2\) et \(3\) sont indépendantes, donc \(\operatorname{Rg} M=2\) et \(\operatorname{dim}\ker M=1\)
    - Si \(\lambda=-3\), alors on a également \(\operatorname{Rg} M=2\) et \(\operatorname{dim}\ker M=1\)

    Consigne: Si l'endomorphisme \(f\) admet \(0\) comme valeur propre et est diagonalisable, que peut-on dire de la dimension du noyau de \(f\) ?

    \(\operatorname{dim}\ker f=\operatorname{dim}\ker(f-0\operatorname{Id})\) est la multiplicité de la valeur propre \(0\) car \(f\) est diagonalisable

    (Vecteur propre - Valeur propre - Elément propre, Diagonalisation - Matrice diagonalisable, Dimension)

    Exercices

    Consigne: Considérons l'application \(\varphi:{\Bbb R}_n[X]\to{\Bbb R}\) définie par : $$\varphi(P)=\int^1_0P(t)\,dt$$
    Préciser \(\operatorname{Im}\varphi\) et une base de \(\ker\varphi\)

    Calcul de l'intégrale
    Si \(P(x)=\sum^n_{i=0}a_ix^i\), alors $$\int^1_0P(x)\,dx=\sum^n_{i=0}a_i\int^1_0x^i\,dx=\sum^n_{i=0}\frac{a_i}{i+1}$$

    \(\operatorname{Im}\varphi\) en prenant des polynômes simples
    \(\operatorname{Im}\varphi={\Bbb R}\) car pour \(P=a_0\in{\Bbb R}\), on a \(\varphi(P)=a_0\in{\Bbb R}\)

    Dimension du noyau via le théorème du rang
    \(\operatorname{dim}\operatorname{Im}\varphi=1\), donc \(\operatorname{dim}\ker\varphi=n\) d'après le théorème du rang

    On pose \(P_i(x)=x^i-\frac1{i+1}\in\ker\varphi\) $$P_i=\left(-\frac1{i+1},0,\ldots,0,\underbrace{1}_i,0,\ldots,0\right)$$
    Le système \(\{P_i\}^n_{i=1}\) est libre car on peut montrer que \(\sum^n_{i=1}\lambda_iP_i=0\iff-\sum^n_{i=1}\frac1{i+1}\lambda_i+\sum^n_{i=1}\lambda_it^i\) si et seulement si les \(\lambda_i\) sont nuls

    (Théorème du rang)


  • Rétroliens :
    • Application transposée
    • Fonction linéaire - Application linéaire - Transformation linéaire - Linéarité
    • Matrice augmentée - Algorithme du compagnon
    • Noyau - Espace nul (algèbre bilinéaire)
    • Polynôme caractéristique d’une matrice - Polynôme associé à une matrice
    • Sous-espace propre
    • Théorème du rang